私はAmazon Music Unlimitedをサービス開始当初から利用していますが唯一の手持ちDAPであるパイオニアXDP-300Rでは音飛びがひどく、使用に耐えませんでした。
しかしながら最近（といっても2年近く前ですが）問題を解決したのでお知らせします。
解決方法は至って簡単で保存先をSDカードにすることです。内蔵ストレージのほうがアクセス速度が速いと思って内蔵ストレージを保存先にしていたのが間違いの元でした。
Androidスマホ（の特に古いモデル）はOSの排他制御に難を感じることが多かったのですが
XDP-300RのAndroidバージョンは5.1.1という化石バージョンなのでストレージアクセスにも
そういう問題があったようです。内蔵ストレージはシステム（AndroidOS）も使用するのでそちらのアクセスが優先されたのでしょう。
Amazon Musicアプリの設定から保存先をタップしてSDカードを選択すればOKです。
この記事を読まれている方には「そもそも古いAndroidのXDP-300RにどうやってAmazon Musicアプリをインストールするんだ？」と思われた方もいると思います。
ネットには古いバージョンをアーカイブしているサイトがあるのでそちらからダウンロードしてインストールします。Google Playからのインストールではないので基本的に自己責任となります。
また、Androidにはセキュリティ機能がありGoogle Play以外からダウンロードしたアプリはインストールできないようになっています。設定＞提供元不明のアプリをONにすればインストール可能になります。
Amazon Musicサービスは全ての機能ではないですがAndroid5.1で動作するアプリをサポートしているのでもうしばらく楽しめそうです。
XDP-300Rでも使用可能なmicro sdカード 128GB（200GBまでは認識すると思います）